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C語言浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示

2013-05-24 08:31:43
來源:
[導(dǎo)讀] 1 前幾天,我在讀一本C語言教材,有一道例題: includevoid main(void){int num=9; * num是整型變量,設(shè)為9 * float* pFloat=#

1.

前幾天,我在讀一本C語言教材,有一道例題:

#include

void main(void){

int num=9; /* num是整型變量,設(shè)為9 */

float* pFloat=# /* pFloat表示num的內(nèi)存地址,但是設(shè)為浮點(diǎn)數(shù) */

printf("num的值為:%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */

printf("*pFloat的值為:%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點(diǎn)值 */

*pFloat=9.0; /* 將num的值改為浮點(diǎn)數(shù) */

printf("num的值為:%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */

printf("*pFloat的值為:%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點(diǎn)值 */

}

運(yùn)行結(jié)果如下:

num的值為:9

*pFloat的值為:0.000000

num的值為:1091567616

*pFloat的值為:9.000000

我很驚訝,num和*pFloat在內(nèi)存中明明是同一個數(shù),為什么浮點(diǎn)數(shù)和整數(shù)的解讀結(jié)果會差別這么大?

要理解這個結(jié)果,一定要搞懂浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)部的表示方法。我讀了一些資料,下面就是我的筆記。

2.

在討論浮點(diǎn)數(shù)之前,先看一下整數(shù)在計算機(jī)內(nèi)部是怎樣表示的。

int num=9;

上面這條命令,聲明了一個整數(shù)變量,類型為int,值為9(二進(jìn)制寫法為1001)。普通的32位計算機(jī),用4個字節(jié)表示int變量,所以9就被保存為00000000 00000000 00000000 00001001,寫成16進(jìn)制就是0x00000009。

那么,我們的問題就簡化成:為什么0x00000009還原成浮點(diǎn)數(shù),就成了0.000000?

3.

根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)IEEE 754,任意一個二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)V可以表示成下面的形式:

V = (-1)^s×M×2^E

(1)(-1)^s表示符號位,當(dāng)s=0,V為正數(shù);當(dāng)s=1,V為負(fù)數(shù)。

(2)M表示有效數(shù)字,大于等于1,小于2。

(3)2^E表示指數(shù)位。

舉例來說,十進(jìn)制的5.0,寫成二進(jìn)制是101.0,相當(dāng)于1.01×2^2。那么,按照上面V的格式,可以得出s=0,M=1.01,E=2。

十進(jìn)制的-5.0,寫成二進(jìn)制是-101.0,相當(dāng)于-1.01×2^2。那么,s=1,M=1.01,E=2。

IEEE 754規(guī)定,對于32位的浮點(diǎn)數(shù),最高的1位是符號位s,接著的8位是指數(shù)E,剩下的23位為有效數(shù)字M。

對于64位的浮點(diǎn)數(shù),最高的1位是符號位S,接著的11位是指數(shù)E,剩下的52位為有效數(shù)字M。

5.

IEEE 754對有效數(shù)字M和指數(shù)E,還有一些特別規(guī)定。

前面說過,1≤M<2,也就是說,M可以寫成1.xxxxxx的形式,其中xxxxxx表示小數(shù)部分。IEEE 754規(guī)定,在計算機(jī)內(nèi)部保存M時,默認(rèn)這個數(shù)的第一位總是1,因此可以被舍去,只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候,只保存01,等到讀取的時候,再把第一位的1加上去。這樣做的目的,是節(jié)省1位有效數(shù)字。以32位浮點(diǎn)數(shù)為例,留給M只有23位,將第一位的1舍去以后,等于可以保存24位有效數(shù)字。

至于指數(shù)E,情況就比較復(fù)雜。

首先,E為一個無符號整數(shù)(unsigned int)。這意味著,如果E為8位,它的取值范圍為0~255;如果E為11位,它的取值范圍為0~2047。但是,我們知道,科學(xué)計數(shù)法中的E是可以出現(xiàn)負(fù)數(shù)的,所以IEEE 754規(guī)定,E的真實值必須再減去一個中間數(shù),對于8位的E,這個中間數(shù)是127;對于11位的E,這個中間數(shù)是1023。

比如,2^10的E是10,所以保存成32位浮點(diǎn)數(shù)時,必須保存成10+127=137,即10001001。

然后,指數(shù)E還可以再分成三種情況:

(1)E不全為0或不全為1。這時,浮點(diǎn)數(shù)就采用上面的規(guī)則表示,即指數(shù)E的計算值減去127(或1023),得到真實值,再將有效數(shù)字M前加上第一位的1。

(2)E全為0。這時,浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)E等于1-127(或者1-1023),有效數(shù)字M不再加上第一位的1,而是還原為0.xxxxxx的小數(shù)。這樣做是為了表示±0,以及接近于0的很小的數(shù)字。

(3)E全為1。這時,如果有效數(shù)字M全為0,表示±無窮大(正負(fù)取決于符號位s);如果有效數(shù)字M不全為0,表示這個數(shù)不是一個數(shù)(NaN)。

6.

好了,關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)的表示規(guī)則,就說到這里。

下面,讓我們回到一開始的問題:為什么0x00000009還原成浮點(diǎn)數(shù),就成了0.000000?

首先,將0x00000009拆分,得到第一位符號位s=0,后面8位的指數(shù)E=00000000,最后23位的有效數(shù)字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

由于指數(shù)E全為0,所以符合上一節(jié)的第二種情況。因此,浮點(diǎn)數(shù)V就寫成:

V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

顯然,V是一個很小的接近于0的正數(shù),所以用十進(jìn)制小數(shù)表示就是0.000000。

7.

再看例題的第二部分。

請問浮點(diǎn)數(shù)9.0,如何用二進(jìn)制表示?還原成十進(jìn)制又是多少?

首先,浮點(diǎn)數(shù)9.0等于二進(jìn)制的1001.0,即1.001×2^3。

那么,第一位的符號位s=0,有效數(shù)字M等于001后面再加20個0,湊滿23位,指數(shù)E等于3+127=130,即10000010。

所以,寫成二進(jìn)制形式,應(yīng)該是s+E+M,即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。這個32位的二進(jìn)制數(shù),還原成十進(jìn)制,正是1091567616。

深圳北大青鳥

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